[정보이론] 생성 행렬과 검사 행렬

생성 행렬

선형 부호

검사 기호를 제공하는 식 또는 패리티 검사 방정식에 의해 정해짐

생성 행렬 또는 검사 행렬에 의해 지정할 수 도 있음

 

 

 

생성 행렬 G

부호어를 생성하는 행렬

부호어 = 정보기호 벡터 x 생성 행렬

 

정보기호 벡터 수 = 생성 행렬의 행의 수

부호어의 길이 = 생성 행렬의 열의 수

 

 

(7,4) 해밍 부호의 생성행렬

(7,4) 부호의 생성 행렬을 G라하면

부호어의 길이 7, 정보기호 4

= 4행 7열의 생성 행렬 필요

 

$$ w = (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\begin{Bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
\end{Bmatrix} $$

 

$$ w = w = (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}, x_{1}+x_{2}+x_{3}, x_{2}+x_{3}+x_{4}, x_{1}+x_{2}+x_{4} ) $$

 

생성행렬 일반화

정보기호 벡터 수 k = 생성 행렬의 행의 수

부호어의 길이 n = 생성 행렬의 열의 수

 

(n,k) 부호의 생성 행렬 G는 k x n 행렬

 

 

 

 

 

검사 행렬

 

검사 행렬

패리티 검사 방정식을 행렬을 이용하여 표현

 

검사 행렬의 열의 수 = 부호 길이

검사 행렬의 행의 수 = 검사 기호 길이

 

예시)

(7,4) 해밍부호의 검사 행렬

행의 수 = 검사 기호 길이 = 3

열의 수 = 부호 길이 = 7

검사 행렬 H : 3 x 7 행렬

패리티 검사 방정식

$H^{t}$ 는 H의 전치 행렬

 

 

 

검사 행렬과 신드롬

$wH^{T} = 0 $ → $s = yH^{T}$

$y = w + e $

검사 행렬 일반화

(n, k) 부호

- 부호길이 n, 정보기호길이 k

- 검사기호길이 n - k

 

(n, k) 선형 부호의 패리티 검사 행렬 H

- (n - k) x n 행렬

- (7, 4) 부호의 경우 3 x 7 행렬